Question

（2008•岳阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD为圆O的直径，AB=AC，AD交BC于E，ED=2AE．
（1）求证：AB²=AD•AE；
（2）求∠ADB的度数；
（3）延长DB到F，使BF=BO，连接FA．求证：直线FA为⊙O的切线．

Answer

（1）易得△ABE∽△ADB，根据相似三角形的性质可得AB2=AD•AE；
（2）求∠ADB的度数，根据三角函数的定义易得tan∠BDA=，故∠BDA=30°；
（3）连接OA，证明OA⊥AF即可．
（1）证明一：∵AB=AC，
∴，
∴∠ABC=∠ADB．（1分）
又∵∠BAE=∠BAD，
∴△ABE∽△ADB，（2分）
∴=⇒AB2=AD•AE．（3分）
证明二：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，（1分）
又∵∠C=∠D=，
∴∠D=∠ABC，
∴△ABE∽△ADB．（2分）
∴=⇒AB2=AD•AE．（3分）

（2）【解析】
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
又∵DE=2AE，
∴AE=AD，
∴AB2=AD•AD．
∴AB=AD．（4分）
∴，
∴tan∠BDA=．
故∠BDA=30°．（5分）

（3）证明一：连接OA，
∵OA=OD=OB，又∠D=30°，
∴∠AOB=60°，（6分）
又∵△AOB为正三角形，
∴∠OAB=60°，AB=OB，
∴∠AOB=60°，（7分）
∵FB=BO，
∴AB=BF，
∴∠FAB=30°，
∴∠FAO=∠FAB+∠BAO=30°+60°=90°．
即FA是⊙O的切线．（8分）
证明二：由前面证得△AOB为等边三角形，
∴AB=BD=AO，
∵BF=BO，
∴，（6分）
∵∠FAD=90°，（7分）
∴AF是⊙O的切线．（8分）