Question

（2008•张家界）聪聪用两块含45°角的直角三角尺△ABC、△MNK进行一次探究活动：他将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，让MK经过C点（如图甲），若BC=MK=4．
（1）此时两三角尺的重叠部分（△ACM）面积为______；
（2）再将图甲中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°得到图乙，此时两三角尺的重叠部分（四边形MDCG）面积为______；
（3）据此猜想：在MK与BC相交的前提下，将△MNK绕点M旋转到任一位置（如图丙）时两三角尺的重叠部分面积为______，请说出理由．

Answer

（1）我们可以看出重叠的三角形的面积正好是三角形ABC面积的一半，直角三角形ABC中，知道了一条直角边为4，那么另一条直角边也为4，其面积就是8，所以△ACM的面积就是4；
（2）△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，那么∠AMD=45°，不难得出∠MDC=∠DCG=∠CBM=90°，因此DMGC是个矩形．MG∥AC，因为M是AB中点，那么MG就是△ABC的中位线，CG=BG=2．同理可得CD=AD=2．因此DMGC是个正方形，且边长为2，那么它的面积就是2×2=4；
（3）如果连接CM，那么根据旋转的性质，我们不难得出∠AMN=∠CMK，AM=CM（AM是直角三角形ABC斜边上的中线）．∠A=∠MCB，于是构成了全等三角形判定中的ASA，于是△AMD和△CMG全等，因此两者的面积也相等．那么四边形CGMD的面积=△DMC的面积+△CMG的面积=△DMC的面积+△AMD的面积=△AMC的面积．而△AMC的面积是△ABC的一半，因此四边形CGMD的面积=4．
【解析】
（1）4；

（2）4；

（3）4；
理由：根据旋转的性质知∠NMA=∠KMC，∠A=∠MCG=45°，
∵AM是直角三角形ABC斜边上的中线，
∴AM=CM，
则△ADM≌△CGM，
∴S△CGM=S△ADM，
∴S重叠=S△AMC=S△ABC=4．