Question

（2008•常州）如图，抛物线y=x²+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上有一动点．
（1）求点A的坐标；
（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；
（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当≤S≤时，求x的取值范围．

Answer

（1）已知抛物线的解析式，根据顶点公式，可求出A点的坐标（-，）且a=1，b=4，c=0．
∵y=x2+4x=（x+2）2-4，∴A（-2，-4）．
（2）若ABOP为菱形时，根据菱形的性质，则P点横坐标与A坐标相同，然后再代入直线就可求出纵坐标，则P坐标就求出；若ABOP为等腰梯形时，OA=BP，已知O，A坐标，可求出OA长度，设P横坐标为a，P在直线上，可用a表示出坐标，从而求出BP长度，OA=BP，可求出a的值，即求出P坐标．若ABOP为直角梯形时，BP与AB垂直，可求出直线BP的关系式，直线BP与直线l的交点即P点坐标．
（3）首先可以得出l的解析式．据图分析有两种情况可以构成QABP为四边形，即当P在第二象限时和在第四象限时，当P在第二象限时，四边形由△AOB和△POB组成，△AOB面积确定，则△POB的面积可以求出来，由于△AOB+△POB代入到面积的不等式中可以得出x的取值范围．同理当P在第四象限时，△AOB+△AOP代入到面积不等式中可以得到x的取值范围．
得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8，所以直线l对应的函数关系式为y=-2x．
设点P坐标为（x，-2x），分别讨论点P在第二象限以及第四象限的值．
【解析】
（1）∵y=x2+4x=（x+2）2-4，（1分）
∴A（-2，-4）．（2分）

（2）由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8，
所以直线l对应的函数关系式为y=-2x．
当四边形ABOP是菱形时，P点横坐标与A点横坐标相同，纵坐标与A点坐标互为相反数，四边形ABP1O为菱形时，P1（-2，4）；
四边形ABOP2为等腰梯形时，设P2横坐标为a，将x=a代入y=-2x，得
P2（a，-2a）．
又∵AO==2，
∴P2B=，
∴=2，
整理得，5a2+8a-4=0，
解得，a=-2（舍去），a=，故P2（，）；
ABOP为直角梯形时，BP3与AB垂直，则直线BP的解析式为y=x+b，
把B（-4，0）代入解析式得，×（-4）+b=0，
解得b=2．
直线BP的解析式为y=x+2，
故得，
解得，
四边形ABP3O为直角梯形时，P3（，）；
同理，当AP4垂直于AB时，四边形ABOP4为直角梯形，P4（，）．（6分）

（3）设点P坐标为（x，-2x）．
①当点P在第二象限时，x＜0，
△POB的面积S△POB=×4×（-2x）=-4x．
∵△AOB的面积S△AOB=×4×4=8，
∴S=S△AOB+S△POB=-4x+8（x＜0）．（8分）
∵4+6≤S≤6+8，
∴
即
∴
∴x的取值范围是．（9分）
②当点P在第四象限时，x＞0，过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′．则四边形POA′A的面积SPOA′A=S梯形PP′A′A-S△PP′O=•（x+2）-•（2x）•x=4x+4．
∵△AA′B的面积S△AA′B=×4×2=4，
∴S=SPOA′A+S△AA′B=4x+8（x＞0）．（10分）
∵4+6≤S≤6+8，
∴
即
∴
∴x的取值范围是≤x≤．（11分）