Question

（2008•淮安）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC=，DE=3．
求：（1）⊙O的半径；（2）弦AC的长；（3）阴影部分的面积．

Answer

（1）半径OD⊥BC，所以由垂径定理知：CE=BE，在直角△OCE中，根据勾股定理就可以求出OC的值；
（2）根据AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，因而在直角三角形ABC中根据勾股定理得到AC的长；
（3）阴影部分的面积就是扇形OCA的面积减去△OAC的面积．
【解析】
（1）∵半径OD⊥BC，
∴CE=BE，
∵BC=6，
∴CE=3，
设OC=x，在直角三角形OCE中，OC2=CE2+OE2，
∴x2=（3）2+（x-3）2，
∴x=6
即半径OC=6；（4分）

（2）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，AB=12，
又∵BC=6，
∴AC2=AB2-BC2=36，
∴AC=6；（7分）

（3）∵OA=OC=AC=6，
∴∠AOC=60°，
∴S阴=S扇-S△OAC=-
=6π-9．（10分）