Question

（2008•淮安）我们约定，若一个三角形（记为△A₁）是由另一个三角形（记为△A）通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A₁是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1是由△A复制出△A₁，又由△A₁复制出△A₂，再由△A₂复制出△A₃，形成了一个大三角形，记作△B．以下各题中的复制均是由△A开始的，由复制形成的多边形中的任意两个小三角形（指与△A全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠．
（1）图1中标出的是一种可能的复制结果，它用到______次平移，______次旋转．小明发现△B∽△A，其相似比为______．若由复制形成的△C的一条边上有11个小三角形（指有一条边在该边上的小三角形），则△C中含有______个小三角形；
（2）若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是______；
（3）在复制形成四边形的过程中，小明用到了两次平移一次旋转，你能用两次旋转一次平移复制形成一个四边形吗？如果能，请在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记；如果不能，请说明理由；
（4）图3是正五边形EFGHI，其中心是O，连接O点与各顶点．将其中的一个三角形记为△A，小明认为正五边形EFGHI是由复制形成的一种结果，你认为他的说法对吗？请判断并说明理由．

Answer

（1）根据平移性质、旋转性质和相似知识进行求解；
（2）应该是证三角形和正六边形；
（3）只要符合平移和旋转的性质即可，答案不唯一；
（4）不可能是正五边形，由于不管怎么平移和旋转，得出的图形至少有一边与原三角形的边平行，因此不可能是正五边形．
【解析】
（1）△A-△A1是经过旋转所得，△A1-△A2是经过旋转所得，△A2-△A3是经过平移所得．因此经过了2次旋转和1次平移．由于△B是由4个△A组成，因此S△B=4S△A，因此相似比为2：1．当△C的一条边上有11个小三角形时，那么它们的相似比为11：1，面积比121：1，即△C中有121个这样的小三角形；

（2）正三边形、正六边形；

（3）能，见右图；

（4）不对；因为平移或旋转复制后，至少有一条边和原三角形的边平行．