Question

（2008•淮安）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-2）²-1图象的顶点为P，与x轴交点为A、B，与y轴交点为C，连接BP并延长交y轴于点D．
（1）写出点P的坐标；
（2）连接AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BC、AC、AD，点E（0，b）在线段CD（端点C、D除外）上，将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S，选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时，重叠部分的面积最大写出最大值．

Answer

（1）根据抛物线的顶点式解析式可得出P的坐标为（2，-1）．
（2）如果△APB是等腰直角三角形，那么根据P的纵坐标不难得出AB=2，根据对称轴x=2可得出A，B的坐标分别为（1，0）（3，0）．然后可根据A，B的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．也就能得出a的值和C点的坐标．
求D点坐标时，可根据∠ABP=45°，即三角形OBD是等腰直角三角形来解．此时OB=OD，B点的横坐标的绝对值就是D点的纵坐标的绝对值，由此可得出D的坐标．
（3）当旋转后A在C′D′上时，E点和O重合此时b=0；当旋转后A在B′D′上时，此时可求得OE=1，即b=-1．因此可分三种情况进行讨论：
①当0≤b＜3时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分是个三角形，如果设C′D′与AC交于M，那么重叠部分就是△CEM的面积．可先求出EM的长，然后再根据三角形的面积公式得出S，b的函数关系式．
②当-1＜b＜0时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分是五边形，由于五边形不是规则的图形，因此可先根据AC，D′B′，AD的直线的解析式求出旋转后得出的三角形与ACD的各边的交点的坐标，然后根据其他规则图形的面积的“和，差”关系来求出五边形的面积，即可得出S，b的函数关系式．
③当-3＜b≤-1时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为四边形，可仿照②的解法求出此时S，b的函数关系式．
综上所述可得出b的不同取值范围内，S，b的函数关系式，然后根据得出的函数的性质即可得出S的最大值．
【解析】
（1）P（2，-1）

（2）因为△APB为等腰直角三角形，P点坐标为（2，-1）
所以AB=2，
所以A（1，0），B（3，0）
将A点坐标代入二次函数y=a（x-2）2-1得：
0=a（1-2）2-1，
所以a=1
所以二次函数为：y=x2-4x+3
所以C（0，3），
所以OC=OB，∠OBC=45°
又因为∠ABP=45°，
所以∠CBD=90°，∠BCO=45°，
所以△BCD为等腰直角三角形，
所以D（0，-3）；

（3）①当0≤b＜3时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为△CEM．

因为CE=C’E，
所以C点恰好在直线B′C′上，
CE=3-b，AC直线方程为：y=3-3x，
E（0，b）所以EM=
所以重叠部分△CEM的面积为：
S=×（3-b）×=（0≤b＜3）；
②当-1＜b＜0时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为五边形EMANQ，
因为ED=ED′=EQ，
所以D’点恰好在直线BD上，DE=EQ=3+b，
所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
CQ=3-（3+2b）=-2b，
AC直线方程为：y=3-3x，
AD直线方程为：y=3x-3，
D’Q直线方程为：y=3+2b-x，
所以EM=，N（-b，3+3b）
所以重叠部分五边形EMANQ的面积为：
S=S△ACD-S△CQN-S△EMD
=×6×1-×（-2b）×（-b）-×（3+b）×
=（-1＜b＜0）；
③当-3＜b≤-1时，旋转后的△B’C’D’与△ACD的重叠部分为四边形EMNQ；
因为ED=ED’=EQ，
所以D′点恰好在直线BD上，DE=EQ=3+b，
所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
DQ=（3+2b）-（-3）=6+2b，
AD直线方程为：y=3x-3，
D′Q直线方程为：y=3+2b-x，
所以EM=，N（，），
所以重叠部分四边形EMNQ的面积为：
S=S△DNQ-S△EMD=-=（-3＜b≤1），
所以重叠部分的面积为：，
当0≤b＜3时，b=0时，S最大，且S最大=，
当-1＜b＜0时，S==-，
b=-时，S最大，且S最大=，
当-3＜b≤-1时，b=-1时，S最大，且S最大=，
综上所述：当b=-时，S最大=．