Question

小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x²=-1时，突发奇想：x²=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i²=-1，那么x²=i²，则x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个根．
（1）据此可知：i³=i²•i=-i，i⁴=______，i⁴²=______；
（2）解方程：x²-2x+2=0（根用i表示）．

Answer

（1）根据题中规律可知i1=i，i2=-1，i3=-i，i4=1；i5=i，i6=-1可以看出4个一次循环，据此即可求解；
（2）首先把方程移项变形为，（x-1）2=-1的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
【解析】
（1）1，-1
（2）x2-2x+1=-1，（x-1）2=-1
x-1=±i
x=1±i，∴x1=1+i，x2=1-i．