Question

如图，P是正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3，将△PBC绕点B按逆时针方向旋转90°到△QAB的位置．
（1）求PQ：PB的值；
（2）求∠APB的度数．

Answer

（1）依题意设PA=k，PB=2k，PC=3k（k＞0）；根据旋转的性质，可得AQ=PC=3k；进而在Rt△BPQ中，求可得QB的长，作比可得出PQ：PB的值．
（2）根据勾股定理，易得AQ2=AP2+PQ2，故∠QPA=90°；进而可得∠APB=135°．
【解析】
（1）由题意设PA=k，PB=2k，PC=3k（k＞0），
∵△QAB由△BPC绕点B旋转90°而得，
∴QB=BP=2k，∠PBQ=90°，
AQ=PC=3k，
在Rt△BPQ中，PQ=，
∴PQ：PB=．

（2）在△APQ中，
∵AQ2=（3k）2=9k2，AP2+PQ2=k2+（）2=9k2，
∴AQ2=AP2+PQ2，
∴∠QPA=90°，又∠QPB=45°，
∴∠APB=135°．