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(2003•贵阳)如图,⊙O的割线PBA交⊙O于A、B,PE切⊙O于E,∠APE...

(2003•贵阳)如图,⊙O的割线PBA交⊙O于A、B,PE切⊙O于E,∠APE的平分线和AE、BE分别交于C、D,PE=4manfen5.com 满分网,PB=4,∠AEB=60°.
(1)求证:△PDE∽△PCA;
(2)试求以PA、PB的长为根的一元二次方程;
(3)求⊙O的面积.(答案保留π)

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(1)根据弦切角定理和角平分线可以得出∠PEB=∠EAB,∠CPE=∠CPA,有了这两组相等的对应角,两三角形也就相似了; (2)可根据切割线定理进行求解,根据切割线定理我们可得出PA的值,有了PB,PA的值,那么可先表示出PB+PA,PB•PA,利用一元二次方程根与系数的关系即可取出所求的方程; (3)本题的关键是求出半径的长,连接BO并延长交⊙O于F,连接AF,那么∠EAB=90°,根据圆周角定理我们可得出∠F的度数,又知道了AB的长,那么可用正弦函数求出BF的长,也就求出了半径的长,有了半径,根据圆的面积公式即可求出圆O的面积. (1)证明:由弦切角定理得∠PEB=∠EAB, ∵PC是∠APE的平分线, ∴∠CPE=∠CPA, ∴△PDE∽△PCA; (2)【解析】 由切割线定理得PE2=PA•PB, ∵PE=4,PB=4, ∴PA=12, ∴PA+PB=16,PA•PB=48, ∴所求方程为:x2-16x+48=0; (3)【解析】 连接BO并延长交⊙O于F,连接AF, 则BF是⊙O的直径, ∴∠BAF=90°, ∴∠AEB=∠F=60° 在Rt△ABF中,sin60°=====, ∴BF=. ∴⊙O的面积为:π()2=π=(面积单位).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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