Question

（2008•南通）已知双曲线y=与直线y=相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线y=于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（-8，0），求A、B两点坐标及k的值；
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式；
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值．

Answer

（1）将D的坐标可得B的横坐标，代入解析式可得B的坐标，又有A、B两点关于原点对称，易得k的值；
（2）根据题意B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，可得BCD的坐标关于mn的表达式，进而可以表示出矩形的面积；代入数据可得答案；
（3）分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1，设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为-a，易得pq关于a的关系式，作p-q可得p-q=．
【解析】
（1）∵D（-8，0），
∴B点的横坐标为-8，代入y=x中，得y=-2，
∴B点坐标为（-8，-2），
而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2），
∴k=8×2=16；

（2）∵N（0，-n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴mn=k，B（-2m，-），C（-2m，-n），E（-m，-n），
∴S矩形DCNO=2mn=2k，
∴S△DBO=mn=k，
∴S△OEN=，
∴S四边形OBCE=S矩形DCNO-S△DBO-S△OEN=k，
∴k=4，
由直线y=x及双曲线，得A（4，1），B（-4，-1），
∴C（-4，-2），M（2，2），
设直线CM的解析式是y=ax+b，
由C、M两点在这条直线上，得，
解得，
∴直线CM的解析式是；

（3）如图1，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1，
设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为-a，
于是p=，
同理，
∴p-q=．
本题也可用相似求解，如图，酌情给分．