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(2008•苏州)如图,抛物线y=a(x+1)(x-5)与x轴的交点为M,N.直线y=kx+b与x轴交于P(-2,0),与y轴交于C.若A,B两点在直线y=kx+b上,且AO=BO=manfen5.com 满分网,AO⊥BO.D为线段MN的中点,OH为Rt△OPC斜边上的高.
(1)OH的长度等于______;k=______,b=______
(2)是否存在实数a,使得抛物线y=a(x+1)(x-5)上有一点E,满足以D,N,E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在,说明理由;若存在,求所有符合条件的抛物线的解析式,同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由);并进一步探索对符合条件的每一个E点,直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB•PG<10manfen5.com 满分网,写出探索过程.

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(1)由已知在等腰直角三角形中解出OH的长,因直线过顶点和OH长等于点到直线距离,联立方程求出k,b; (2)思维要严密,分两类情况:①若DN为等腰直角三角形的直角边;②若DN为等腰直角三角形的斜边. 根据相似的比例关系和几何关系,作适合的辅助线,构造垂直从而验证相似比例关系是否成立. 【解析】 (1)∵直线y=kx+b过P(-2,0)⇒-2k+b=0…① ∵AO=BO=,AO⊥BO⇒三角形AOB为等腰直角三角形, AB==2⇒∠OAB=45°⇒OH=OA×sin45°=1, ∵OH==1…② 由①②方程解得:k=,b=,OH=1. (2)设存在实数a,使抛物线y=a(x+1)(x-5)上有一点E,满足以D,N,E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似. ∴以D,N,E为顶点的三角形为等腰直角三角形,且这样的三角形最多只有两类,一类是以DN为直角边的等腰直角三角形,另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形. ①若DN为等腰直角三角形的直角边,则ED⊥DN. 在抛物线y=a(x+1)(x-5)中,令y=0,解得x=-1或5,则得:M(-1,0),N(5,0). ∴D(2,0), ∴ED=DN=3. ∴E的坐标为(2,3). 把E(2,3)代入抛物线解析式y=a(x+1)(x-5),得:a(2+1)(2-5)=3,解得a=-. ∴抛物线解析式为y=-(x+1)(x-5). 即y=-x2+x+. ②若DN为等腰直角三角形的斜边, 则DE⊥EN,DE=EN. ∴E的坐标为(3.5,1.5). 把E(3.5,1.5)代入抛物线解析式y=a(x+1)(x-5)得:a(3.5+1)(3.5-5)=1.5,解得a=-. ∴抛物线解析式为y=-(x+1)(x-5), 即y=-x2+x+. 当a=-时,在抛物线y=-x2+x+上存在一点E(2,3)满足条件, 如果此抛物线上还有满足条件的E点,不妨设为E′点,那么只有可能△DE′N是以DN为斜边的等腰直角三角形, 由此得E′(3.5,1.5),显然E′不在抛物线. y=-x2+x+上, 因此抛物线y=-x2+x+上没有符合条件的其他的E点. 当a=-时,同理可得抛物线y=-x2+x+上没有符合条件的其他的E点. 当E的坐标为(2,3),对应的抛物线解析式为y=-x2+x+时, ∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形, ∴∠GNP=∠PBO=45°. 又∵∠NPG=∠BPO, ∴△NPG∽△BPO. ∴, ∴PB•PG=PO•PN=2×7=14, ∴总满足PB•PG<10. 当E的坐标为(3.5,1.5),解得对应的抛物线解析式为y=-x2+x+时, 同理可证得:PB•PG=PO•PN=2×7=14, ∴总满足PB•PG<10.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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