Question

（2008•苏州）如图，抛物线y=a（x+1）（x-5）与x轴的交点为M，N．直线y=kx+b与x轴交于P（-2，0），与y轴交于C．若A，B两点在直线y=kx+b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．
（1）OH的长度等于______；k=______，b=______；
（2）是否存在实数a，使得抛物线y=a（x+1）（x-5）上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与△AOB相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB•PG＜10，写出探索过程．

Answer

（1）由已知在等腰直角三角形中解出OH的长，因直线过顶点和OH长等于点到直线距离，联立方程求出k，b；
（2）思维要严密，分两类情况：①若DN为等腰直角三角形的直角边；②若DN为等腰直角三角形的斜边．
根据相似的比例关系和几何关系，作适合的辅助线，构造垂直从而验证相似比例关系是否成立．
【解析】
（1）∵直线y=kx+b过P（-2，0）⇒-2k+b=0…①
∵AO=BO=，AO⊥BO⇒三角形AOB为等腰直角三角形，
AB==2⇒∠OAB=45°⇒OH=OA×sin45°=1，
∵OH==1…②
由①②方程解得：k=，b=，OH=1．

（2）设存在实数a，使抛物线y=a（x+1）（x-5）上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似．
∴以D，N，E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形．
①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED⊥DN．
在抛物线y=a（x+1）（x-5）中，令y=0，解得x=-1或5，则得：M（-1，0），N（5，0）．
∴D（2，0），
∴ED=DN=3．
∴E的坐标为（2，3）．
把E（2，3）代入抛物线解析式y=a（x+1）（x-5），得：a（2+1）（2-5）=3，解得a=-．
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-5）．
即y=-x2+x+．

②若DN为等腰直角三角形的斜边，
则DE⊥EN，DE=EN．
∴E的坐标为（3.5，1.5）．
把E（3.5，1.5）代入抛物线解析式y=a（x+1）（x-5）得：a（3.5+1）（3.5-5）=1.5，解得a=-．
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-5），
即y=-x2+x+．
当a=-时，在抛物线y=-x2+x+上存在一点E（2，3）满足条件，
如果此抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为E′点，那么只有可能△DE′N是以DN为斜边的等腰直角三角形，
由此得E′（3.5，1.5），显然E′不在抛物线．
y=-x2+x+上，
因此抛物线y=-x2+x+上没有符合条件的其他的E点．
当a=-时，同理可得抛物线y=-x2+x+上没有符合条件的其他的E点．
当E的坐标为（2，3），对应的抛物线解析式为y=-x2+x+时，
∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，
∴∠GNP=∠PBO=45°．
又∵∠NPG=∠BPO，
∴△NPG∽△BPO．
∴，
∴PB•PG=PO•PN=2×7=14，
∴总满足PB•PG＜10．
当E的坐标为（3.5，1.5），解得对应的抛物线解析式为y=-x2+x+时，
同理可证得：PB•PG=PO•PN=2×7=14，
∴总满足PB•PG＜10．