Question

（2008•绵阳）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点P在矩形的边DC上由D向C运动．沿直线AP翻折△ADP，形成如下四种情形．设DP=x，△ADP和矩形重叠部分（阴影）的面积为y．

（1）如图丁，当点P运动到与C重合时，求重叠部分的面积y；
（2）如图乙，当点P运动到何处时，翻折△ADP后，点D恰好落在BC边上这时重叠部分的面积y等于多少？
（3）阅读材料：已知锐角α≠45°，tan2α是角2α的正切值，它可以用角α的正切值tanα来表示，即（α≠45°）．根据上述阅读材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范围．
（提示：在图丙中可设∠DAP=a）

Answer

（1）根据三角形的面积公式，只需求得CE的长，根据平行线的性质以及折叠的性质发现等腰三角形ACE，设CE=m，则DE=10-m．在直角三角形CED′中，根据勾股定理即可求解；
（2）要求DP的长，也可在直角三角形CPD′中，根据勾股定理求解；
（3）根据（2）的结论，知分为两种情况讨论：当0≤x≤5时，由图甲知y=S△ADP；当5＜x＜8时，如图丙，重叠部分的面积即是直角梯形的面积减去两个直角三角形的面积．
【解析】
（1）由题意可得∠DAC=∠D′AC=∠ACE，∴AE=CE．
设AE=CE=m，则BE=10-m．
在Rt△ABE中，得m2=82+（10-m）2，∴m=8.2．
∴重叠部分的面积y=•CE•AB=×8.2×8=32.8（平方单位）．
（另法：过E作EO⊥AC于O，由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO）．

（2）由题意可得△DAP≌△D′AP，
∴AD′=AD=10，PD′=DP=x．
在Rt△ABD′中，∵AB=8，∴BD′==6，于是CD′=4．
在Rt△PCD′中，由x2=42+（8-x）2，得x=5．
此时y=•AD•DP=×10×5=25（平方单位）．
表明当DP=5时，点D恰好落在BC边上，这时y=25．
（另法：由Rt△ABD′∽Rt△PCD′可求得DP）．

（3）由（2）知，DP=5是甲，丙两种情形的分界点．
当0≤x≤5时，由图甲知y=S△ADP=S△ADP=•AD•DP=5x．
当5＜x＜8时，如图丙，设∠DAP=α，则∠AEB=2α，∠FPC=2α．
在Rt△ADP中，得tanα=．
根据阅读材料，即，得出tan2α=．
在Rt△ABE中，有BE=AB∕tan2α==．
同理，在Rt△PCF中，有CF=（8-x）tan2α=．
∴S△ABE=•AB•BE=×8×=．
S△PCF=•PC•CF=（8-x）×=．
而S梯形ABCP=（PC+AB）×BC=（8-x+8）×10=80-5x．
故重叠部分的面积y=S梯形ABCP-S△ABE-S△PCF=80-5x--．
经验证，当x=8时，y=32.8适合上式．
综上所述，当0≤x≤5时，y=5x；当5＜x≤8时，y=80-5x--．