Question

（2008•绵阳模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长交⊙O于C，交PB的延长线于D．
（1）找出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（不再添加辅助线）；
（2）若PA=2+，∠P=45°，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）利用两组角对应相等可证△OBD∽△PAD；
（2）首先理清S阴影=S△OBD-S扇形，然后根据面积公式计算即可．
【解析】
（1）△OBD∽△PAD．
证明：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBD=90°．
又∵∠D=∠D，
∴△OBD∽△PAD；

（2）∵∠P=45°，
∴∠DOB=45°，
∴△OBD、△PAD均是等腰直角三角形，
从而PD=PA，BD=OB，
又∵PA=2+，PA=PB，
∴BD=OB=PD-PB=PA-PA=（-1）PA=（-1）（2+）=，
故S阴影=S△OBD-S扇形===．