Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=．以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点，
求证：AE⊥EB．

Answer

要证明AE⊥BE，只要证明∠AEB是直角即可，当∠AEB=90°时，∠AEC+∠DEB=90°．又因为∠DBE+∠DEB=90°，那么要证明AE⊥EB，只要证明∠AEC=∠DBE即可．那么我们可通过构建全等三角形来实现．过E作EF∥BC交BD于F，∠DEF=∠DCB=45°．根据E是CD中点，那么EF是直角三角形BCD的中位线，那么EF=BC=AC，CE=BF，直角三角形EFB和ACE中，已知的条件有EF=AC，CE=BF，只要再得出两边的夹角相等即可，我们发现∠ACE=∠BFE=90°+45°=135°，由此就凑齐了三角形全等的条件，两三角形就全等了．∠AEC=∠DBE．
证明：过E作EF∥BC交BD于F．
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=135°，∠DFE=∠DBC=45°，
∴∠EFB=135°．
又EF=BC，EF∥BC，AC=BC，
∴EF=AC，CE=FB．
∴△EFB≌△ACE．
∴∠CEA=∠DBE．
又∵∠DBE+∠DEB=90°，
∴∠DEB+∠CEA=90°．
故∠AEB=90°．
∴AE⊥EB．