Question

（2008•昆明）如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（-9，0）
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求证：直线CD是⊙M的切线；
（3）若抛物线y=x²+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；
（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F．如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得S_△PAM：S_△CEF=：3？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）

Answer

（1）已知了M的坐标和圆的半径即可求出A点坐标，连接MC可在直角三角形OMC中，用勾股定理求出OC的长，即可得出C点的坐标．
（2）连接MC，证MC⊥CD即可．根据OD的长和OC的长，不难得出∠ODC=30°，同理可在直角三角形OCM中，求出∠OMC=60°，由此可得出∠DCM=90°，由此可得证．
（3）将M、A的坐标代入抛物线中求解即可．
（4）本题可先求出三角形CEF的面积，然后根据两三角形的面积比求出三角形PAM的面积，由于AM是定值，根据三角形PAM的面积即可求出P点的纵坐标的绝对值，代入抛物线中即可求出P点的坐标．
【解析】
（1）连接CM，由题意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6
OA=OM+MA=3+6=9
A（9，0）
∵OC==3
∴C（0，）

（2）证法一：
在Rt△DCO中，∵DC==6
在△DCM中，∵CM2+DC2=144
DM2=（DO+OM）2=（9+3）2=122=144
∴CM2+DC2=DM2
∴△DCM直角三角形．
∴MC⊥DC，而MC是⊙M的半径
∴CD是⊙M的切线．
证法二：
在Rt△COM中，∵sin∠MCO==，
∴∠MCO=30°
在Rt△DOC中，∵tan∠DCO===，
∴∠DCO=60°
∴∠DCM=∠MCO+∠DCO=90°
∴MC⊥DC，而MC中的⊙M半径．

（3）由抛物线y=x2+bx+c经过点M（3，0）和点A（9，0），可得：
解得：
∴抛物线的解析式为：y=x2-12x+27．

（4）存在
设抛物线的对称轴交x轴于点H
在（2）中已证：
∴∠DCO=60°，∠CDO=30°
∵抛物线的对称轴平行于y，
∴∠CEF=∠DCO=60°
∵OD=OA=9，
∴CO垂直平分AD
∴∠CAO=∠CDO=30°
在Rt△AFH中，∠AFH=60°
∴∠EFC=60°
∴△CEF是等边三角形
过点C作CG⊥EF于点G，则CG=6
可得：EF=4，S△CEF=EF•CG=×4×6=12；
若点P在轴的上方，设点P坐标为（x，y），S△PAM=AM•y=3y，S△PAM：S△CEF=：3
∴3y：12=：3，
解得：y=4．
当y=4时，即x2-12x+27=4，解得x=6±
∴P（6-，4）或（6+，4）．
②若点P在x轴上，则点P与点M或与点A重合，此时构不成三角形．
③若点P在x轴下方，设点P的坐标为（x，y）
S△PAM=AM•（-y）=-3y，S△PAM：S△CEF=：3
∴-3y：12=：3
解得：y=-4
当y=-4时，即x2-12x+27=-4，解得x=6±．
∴P（6-，-4）或（6+，-4）．
∴这样的点共有4个，
∴P（6-，4）或（6+，4）或（6-，-4）或（6+，-4）．