Question

（2008•杭州）在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）（t，b均为非零常数）．平移二次函数y=-tx²的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（|OB|＜|OC|）．连接AB．
（1）是否存在这样的抛物线F，使得|OA|²=|OB|•|OC|？请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=，求抛物线F对应的二次函数的解析式．

Answer

（1）平移二次函数y=-tx2的图象，得到的抛物线F，则抛物线的二次项系数不变，顶点为Q，则函数的解析式就可以直接写出．是y=-t（x-t）2+b．|OB|•|OC|就是一元二次方程-t（x-t）2+b=0的两根的积得绝对值，因而可以用根据韦达定理，利用t表示出来．而OA=t，根据|OA|2=|OB|•|OC|就可以得到一个关于t的方程．从而把问题转化为判断方程的解得问题．
（2）AQ∥BC即Q得纵坐标是b=t，得到抛物线F是：y=-t（x-t）2+t．就可以求出B，C的坐标．已知tan∠ABO=，就是已知OA与OB得比值，即t的关系．就可以转化为方程问题解决．
【解析】
（1）存在这样的抛物线F，使得|OA|2=|OB|•|OC|．
理由是：∵平移y=-tx2的图象得到的抛物线F的顶点为Q，
∴抛物线F对应的解析式为：y=-t（x-t）2+b，即y=-tx2+2t2x-t3+b，
令y=0，得OB=t-，OC=t+，
∴|OB|•|OC|=|（t-）（t+）|=|t2-|=t2=OA2，
即，
所以当b=2t3时，存在抛物线F使得|OA|2=|OB|•|OC|，
即：存在这样的抛物线F，使得|OA|2=|OB|•|OC|．

（2）∵AQ∥BC，
∴t=b，得：y=-t（x-t）2+t，
解得x1=t-1，x2=t+1．
在Rt△AOB中，
①当t＞0时，由|OB|＜|OC|，得B（t-1，0），
当t-1＞0时，由tan∠ABO===，解得t=3，
此时，二次函数解析式为y=-3x2+18x-24；
当t-1＜0时，由tan∠ABO===，解得t=，
此时，二次函数解析式为y=-x2+x+；
②当t＜0时，由|OB|＜|OC|，将-t代替t，解得：t=-，t=-3，
同法求出y=-x2+x-或y=-3x2+18x+24；
故二次函数解析式为y=-x2+x-或y=-3x2+18x+24，
答：抛物线F对应的二次函数的解析式是y=-x2+x±或y=-3x2+18x±24．