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(2008•义乌)如图1所示,直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴...

(2008•义乌)如图1所示,直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l.将直线l平移,平移后的直线l与x轴交于点D,与y轴交于点E.
(1)将直线l向右平移,设平移距离CD为t(t≥0),直角梯形OABC被直线l扫过的面积(图中阴影部分)为s,s关于t的函数图象如图2所示,OM为线段,MN为抛物线的一部分,NQ为射线,N点横坐标为4.
①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积,
②当2<t<4时,求S关于t的函数解析式;
(2)在第(1)题的条件下,当直线l向左或向右平移时(包括l与直线BC重合),在直线AB上是否存在点P,使△PDE为等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)先要看分段函数所表示的意思是什么,当0<x≤2时,E在B和A之间扫过的梯形的部分是个平行四边形,当2<x<4时,E在A点右侧,且D在O点左侧时,扫过的梯形的部分是个五边形,当x≥4时,扫过的梯形的面积就是整个梯形的面积. ①由上面的分析可看出当t=2时,就是E、A重合的时候,那么AB=2,可根据此时梯形的平行四边形的面积为8求出OA的长;而当t=4时,就是D于O重合的部分,因此OC=4,那么梯形的面积就可以求出来了. ②根据上面的分析当2<t<4时,直角梯形OABC被直线l扫过的面积=直角梯形OABC面积一直角三角形DOE面积,然后可用t表示出OD、OE的长,然后根据得出的等量关系求出S、t的函数关系式; (2)要分三种情况进行讨论: ①以点D为直角顶点,作PP1⊥x轴 在Rt△ODE中,OE=2OD,设OD=b,OE=2b.由于Rt△ODE≌Rt△P1PD,(图示阴影) 因此b=4,2b=8,在上面二图中分别可得到P点的生标为P(-12,4)、P(-4,4) E点在0点与A点之间不可能; ②以点E为直角顶点 同理在②二图中分别可得P点的生标为P(-,4)、P(8,4)E点在0点下方不可能. ③以点P为直角顶点 同理在③二图中分别可得P点的生标为P(-4,4)(与①情形二重合舍去)、P(4,4), E点在A点下方不可能. 综上可得P点的生标共5个解,分别为P(-12,4)、P(-4,4)、P(-,4)、 P(8,4)、P(4,4). 【解析】 (1)①AB=2 OA==4,OC=4,S梯形OABC=12 ②当2<t<4时, 直角梯形OABC被直线l扫过的面积=直角梯形OABC面积一直角三角形DOE面积, ∵AB∥CD,OA=4, ∴==, ∴OE=8-2t S=12-(4-t)×(8-2t)=-t2+8t-4; (2)存在 P1(-12,4),P2(-4,4),P3(-,4),P4(4,4),P5(8,4) 下面提供参考解法二: 以直角进行分类进行讨论(分三类): 第一类如上分析中①所示图∠P为直角: 设直线DE:y=2x+2b,此时D(-b,0),E(0,2b)的中点坐标为, 直线DE的中垂线方程:y-b=-, 令y=4得. 由已知可得PE=DE即 化简得3b2-32b+64=0 解得b1=8,b2=将之代入P(-8,4) ∴P1=(4,4)P2(-4,4); 第二类如上分析中②所示图∠E为直角: 设直线DE:y=2x+2b,此时D(-b,o),E(O,2b), 直线PE的方程:y=-, 令y=4得P(4b-8,4). 由已知可得PE=DE即 化简得b2=(2b-8)2 解之得,b1=4,b2=将之代入P(4b-8,4) ∴P3=(8,4) 第三类如上分析中③所示图∠D为直角: 设直线DE:y=2x+2b,此时D(-b,o),E(O,2b), 直线PD的方程:y=-(x+b), 令y=4得P(-b-8,4). 由已知可得PD=DE即 解得b1=4,b2=-4将之代入P(-b-8,4) ∴P5=(-12,4)、P6(-4,4)、[P6(-4,4)与P2重合舍去]. 综上可得P点的坐标共5个解,分别为P(-12,4)、P(-4,4)、P(-,4)、 P(8,4)、P(4,4). 事实上,我们可以得到更一般的结论: 如果得出AB=a、OC=b、OA=h、设,则P点的情形如下:
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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