Question

（2009•随州模拟）如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a（x-2）²-1图象的顶点为P，与x轴交点为A、B，与y轴交点为C．连接BP并延长交y轴于点D．连接AP，△APB为等腰直角三角形．

（1）求a的值和点P、C、D的坐标；
（2）连接BC、AC、AD．将△BCD绕点线段CD上一点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S．
①当点E在（0，1）时，在图中画出旋转后的三角形，并出求S；
②当点E在线段CD（端点C、D除外）上运动时，设E（0，b），用含b的代数式表示S，并判断当b为何值时，重叠部分的面积最大，写出最大值．

Answer

（1）易知P点坐标为（2，-1），根据三角形APB为等腰直角三角形，那么AB=2，由于抛物线的对称轴为x=2，因此A（1，0），B（3，0），将A或B的坐标代入抛物线中即可求出a的值．进而可求出C点的坐标．由于∠ABP=45°，因此三角形OBD也是等腰直角三角形，那么OB=OD，由此可求出D的坐标．
（2）①当OE=1时，那么C′E=CE=2，根据EF∥OA可求得EF=，因此S=×2×=；
②思路同①，但要分类讨论：
当b≥0，时，那么根据①的思路，可求得C′E=CE=3-b，EF=（3-b），因此S=CE•EF=（3-b）2．
当旋转后当B′D′过A时，GE=ED′，GE=1-b，DE=3+b，因此b=-1，那么当b＜0时，要分两种情况进行讨论：
一：当-1＜b≤0时，重合部分是个五边形，可过F作y轴的垂线，将其分割成一个小直角三角形和两个直角梯形来计算．
二：当-3＜b＜-1时，重合部分是个不规则的四边形，可过F作y轴的垂线，将其分割成一个直角三角形和一个直角梯形来求解．
得出函数关系式后根据函数的性质即可得出S的最大值．
【解析】
（1）a=1，P（2，-1），C（0，3），D（0，-3）；

（2）画出图形

易知：△CC′E是等腰直角三角形，
因此C′E=CE=2，
∵EF∥OA，
∴，即EF=．
∴S=×EF×CE=×2×=，
∴重合部分的面积为S=；

（3）当b≥0如图，可用相似三角形的面积求，
∴当b=0时，Smax=，
当b＜0时，BD旋转后经过A时，b=-1，
当-1＜b≤0时，S=-b2-b+=-（b+）2+，
∴当b=-时，Smax=．
当-3＜b≤-1时，S=（3+b）2，
∴当b=-1时Smax=．