Question

（2008•肇庆）已知点A（a，y₁）、B（2a，y₂）、C（3a，y₃）都在抛物线y=5x²+12x上．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当a=1时，求△ABC的面积；
（3）是否存在含有y₁，y₂，y₃，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）令y=0，得出的关于x的二元一次方程的解就是抛物线与x轴的交点的横坐标，也就求得出了抛物线与x轴的交点坐标．
（2）当a=1时，根据抛物线的解析式求出A、B、C三点的坐标，由于三角形的面积无法直接求出，因此通过作辅助线用其他规则图形的面积的“和，差”关系来求．如：分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC由此可求出△ABC的面积．
（3）可将A、B、C三点的坐标代入抛物线中，得出y1，y2，y3的值，然后进行比较即可得出它们之间的和差或倍数关系．
【解析】
（1）由5x2+12x=0，
得x1=0，．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）．

（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），
分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则有S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC
=--=5（个单位面积）

（3）如：y3=3（y2-y1）．
事实上，y3=5×（3a）2+12×（3a）=45a2+36a．
3（y2-y1）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）]=45a2+36a．
∴y3=3（y2-y1）．