Question

（2008•益阳）△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．
Ⅰ、证明：△BDG≌△CEF；
Ⅱ、探究：怎样在铁片上准确地画出正方形．
小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答．如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分．
Ⅱa、小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了．
设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长．（结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化）
Ⅱb、小明想：不求正方形的边长也能画出正方形．具体作法是：
①在AB边上任取一点G′，如图作正方形G′D′E′F′；
②连接BF′并延长交AC于F；
③作FE∥F′E′交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，则四边形DEFG即为所求．
你认为小明的作法正确吗？说明理由．

Answer

（1）根据正方形的性质可以得到GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°，利用等边三角形得到∠B=∠C=60°，然后利用全等三角形的判定定理就可以证明了；
2a．设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，可以求出AH的长，然后根据△AGF∽△ABC利用其对应边成比例
可以列出关于x的方程，然后求出x，也就求出了正方形的边长；
2b．首先作一个正方形，然后利用位似图形作图就可以得到正方形DEFG，利用作法中的平行线可以得到比例线段，再根据比例线段就可以证明所作的图形是正方形了．
证明：Ⅰ．∵DEFG为正方形
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°（2分）
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠C=60°（3分），
在△BDG和△CEF中，
∵，
∴△BDG≌△CEF（AAS）（5分）

Ⅱ解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，
求得（7分）
由△AGF∽△ABC得：（9分）
解之得：（或）（10分）
解法二：设正方形的边长为x，则（7分）
在Rt△BDG中，tan∠B=，
∴（9分）
解之得：（或）（10分）
解法三：设正方形的边长为x，则AG=GF=x，GB=2-AG=2-x，
则（7分）
由勾股定理得：（9分）
解之得：（10分）
Ⅱb．【解析】
正确（6分）
由已知可知，四边形GDEF为矩形（7分）
∵FE∥F′E′，
∴△BE′F′∽△BEF，
∴
同理
∴
又∵F’E’=F’G’
∴FE=FG
∴矩形GDEF为正方形（10分）