Question

（2009•朝阳区二模）将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上．在OA、OC边上选取适当的点E、F，连接EF，将△EOF沿EF折叠，使点O落在AB边上的点D处．

（1）如图1，当点F与点C重合时，OE的长度为______；
（2）如图2，当点F与点C不重合时，过点D作DG∥y轴交EF于点T，交OC于点G．求证：EO=DT；
（3）在（2）的条件下，设T（x，y），写出y与x之间的函数关系式为______，自变量x的取值范围是______；
（4）如图3，将矩形OABC变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC边上的高等于8，点F与点C不重合，过点D作DG∥y轴交EF于点T，交OC于点G，求出这时T（x，y）的坐标y与x之间的函数关系式（不求自变量x的取值范围）．

Answer

（1）根据折叠的性质可得出DE=OE，OC=CD．
如果设出E点的坐标，可用E的纵坐标表示出AE、ED的长．
可根据相似三角形ADE和CDB得出的关于AE，BC，AD，BD的比例关系式求出E点的纵坐标．也就求出了E的坐标和OE的长．
（2）本题可通过证DT=OE来求出，如果连接OD，那么EF必垂直平分OD，如果设OD与EF的交点为P，那么OP=DP，△OEP≌△DPT，可得DT=OE；
（3）可先根据T的坐标表示出AD，AE，然后可在直角三角形ADE中表示出DE．而DE又可用AO-AE表示．可以此来求出y，x的函数关系式．
在（1）中给出的情况就是x的最小值的状况，可根据AD的长求出x的最小值，当x取最大值时，EF平分∠OAB，即E′与A重合，四边形EOGD为正方形，可据此求出此时x的值．有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范围．
（4）的结论和（3）完全相同，求法也几乎完全一样．
（1）5．
【解析】
根据题意，运用勾股定理得BD=6，AD=4．
设OE=x，则DE=x，AE=8-x．
在Rt△ADE中，x2=（8-x）2+42，
解得x=5．即OE=5．

（2）证明：如图1，∵△EDF是由△EFO折叠得到的，
∴∠1=∠2．
又∵DG∥y轴，∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴DE=DT．
∵DE=EO，
∴EO=DT．

（3）y=-x2+4．
4＜x≤8．

（4）【解析】
如图2，连接OT，
由折叠性质可得OT=DT．
∵DG=8，TG=y，
∴OT=DT=8-y．
∵DG∥y轴，
∴DG⊥x轴．
在Rt△OTG中，∵OT2=OG2+TG2，
∴（8-y）2=x2+y2．
∴y=-x2+4．