Question

（2011•玉溪一模）如图，反比例函数的图象过矩形OABC的顶点B，OA、0C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA：0C=2：1．
（1）设矩形OABC的对角线交于点E，求出E点的坐标；
（2）若直线y=2x+m平分矩形OABC面积，求m的值．

Answer

（1）首先由OA：0C=2：1，设OA=2a，OC=a．再根据双曲线的解析式求得点B的坐标，再根据矩形的对角线相等且互相平分，结合平行线等分线段定理，得点E的横、纵坐标分别是矩形的长和宽的一半；
（2）根据矩形是中心对称图形，则要平分矩形的面积，该直线一定经过点E．只需把点E的坐标代入进行计算．
【解析】
（1）由题意，设B（2a，a）（a≠0），
∴
∴a=±2．
∵B在第一象限，
∴a=2．B（4，2）（2分）
∴矩形OABC对角线的交点E为（2，1）；（3分）

（2）①当m≠0时，
∵直线y=2x+m平分矩形OABC必过点（2，1）
∴1=4+m，
∴m=-3．
②当m=0时，y=2x必过点（1，2）；
∴m=-3或0