Question

（2009•房山区一模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O交BC于点F，连接EF，若BC=9，CA=12．求的值．

Answer

（1）要想证明AC是切线，需要先连接OD，利用“经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线”来证明AC是⊙O的切线，所以需要根据∠OBD=∠ODB，∠CBD=∠ABD，求得BC∥OD从而得到OD⊥AC；
（2）先利用△ADO∽△ACB求出半径r的值，再利用△BEF∽△BAC的相似比即可求出的值为．
（1）证明：连接OD，
∵DE⊥DB，∴∠BDE=90°．
∴BE是⊙O的直径．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD．
∴∠CBD=∠ODB．
∴BC∥OD．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
∴OD⊥AC．（1分）
∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．（2分）

（2）【解析】
设⊙O的半径为r，
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，CA=12，
∴AB=15．（3分）
∵BC∥OD，
∴△ADO∽△ACB．
∴，
∴，
∴，
∴，（4分）
又∵BE是⊙O的直径，
∴∠BEF=90°，
∴△BEF∽△BAC，
∴．（5分）