Question

（2009•房山区一模）已知关于x的一元二次方程kx²+（3k+1）x+2k+1=0．
（1）求证：该方程必有两个实数根；
（2）设方程的两个实数根分别是x₁，x₂，若y₁是关于x的函数，且y₁=mx-1，其中m=x₁x₂，求这个函数的解析式；
（3）设y₂=kx²+（3k+1）x+2k+1，若该一元二次方程只有整数根，且k是小于0的整数．结合函数的图象回答：当自变量x满足什么条件时，y₂＞y₁？

Answer

（1）用根的判别式判断根的情况；
（2）用一元二次方程根与系数的关系，可以求出关于y1解析式；
（3）根据已知方程只有整数根且k是小于0的整数确定出k的值，进而确定两个函数的解析式，求出两个函数的交点坐标，在坐标系中画出图象，再确定出y2＞y1时的x的取值范围．
（1）证明：∵a=k，b=3k+1，c=2k+1，
∴△=b2-4ac
=9k2+6k+1-4k（2k+1）
=9k2+6k+1-8k2-4k=k2+2k+1
=（k+1）2≥0，
∴方程必有两个实数根；

（2）【解析】
∵方程的两个实数根分别是x1，x2，
∴x1x2=，
而m=x1x2，y1=mx-1，
∴；

（3）【解析】
∵方程只有整数根且k是小于0的整数，
∴要为整数，只能为整数，
∴k=-1，
∴y2=-x2-2x-1，y1=x-1，
∴y1与y2的交点坐标为A（-3，-4）B（0，-1），
∴在坐标系中画出两函数的图象如图所示，
由图象可知：
当-3＜x＜0时，y2＞y1．