Question

（2009•房山区一模）已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，连接DF、BF．
（1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；
（2）将图1中△ADE绕A点顺时针旋转45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图1中△ADE绕A点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．

Answer

（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．
（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=BF且DF⊥BF．
（3）延长BF至点G，使FG=BF，连接DB，DG，GE，可证明△EFG≌△CFB，得到EG=CB，∠EGF=∠CBF，继而求得△DAB≌△DEG，得到DG=DB，∠ADB=∠EDG，所以∠BDG=∠ADE=90°，可得DF=BF且DF⊥BF．
【解析】
（1）DF=BF且DF⊥BF．（1分）
证明：如图1：
∵∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，
∴∠CDE=90°，∠AED=∠ACB=45°，
∵F为CE的中点，
∴DF=EF=CF=BF，
∴DF=BF；（2分）
∴∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，
∴∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，
即：∠DFB=90°，
∴DF⊥BF．（3分）

（2）仍然成立．
证明：如图2，延长DF交BC于点G，
∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEF=∠GCF，
又∵EF=CF，∠DFE=∠GFC，
∴△DEF≌△GCF，
∴DE=CG，DF=FG，（4分）
∵AD=DE，AB=BC，
∴AD=CG，
∴BD=BG，（5分）
又∵∠ABC=90°，
∴DF=BF且DF⊥BF．（6分）

（3）仍然成立．证明：如图3，延长BF至点G，使FG=BF，连接DB、DG、GE，
在△EFG与△CFB中，
∵，
∴△EFG≌△CFB，
∴EG=CB，∠EGF=∠CBF，
∴EG∥CB，
∵AB=BC，AB⊥CB，
∴EG=AB，EG⊥AB，
∵∠ADE=90°，EG⊥AB，
又∵∠AED=∠DAE，
∴∠DAB=∠DEG，
在△DAB和△DEG中，
∵
∴△DAB≌△DEG（SAS），
∴DG=DB，∠ADB=∠EDG，（7分）
∴∠BDG=∠ADE=90°，
∴△BGD为等腰直角三角形，
∴DF=BF且DF⊥BF．（8分）