Question

（2012•乐山模拟）在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．
原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．
小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．
小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；
（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．

Answer

本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想．
【解析】
（1）DF=EF．
（2）猜想：DF=FE．
证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB=90度．
∵DA=DB，∠ADB=60度．
∴AG=BG，△DBA是等边三角形．
∴DB=BA．
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=AB=BG．
∴△DBG≌△BAC．
∴DG=BC．
∵BE=EC，∠BEC=60°，
∴△EBC是等边三角形．
∴BC=BE，∠CBE=60度．
∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，
∴△DFG≌△EFB．
∴DF=EF．

（3）猜想：DF=FE．
证法一：过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB=90度．
∵DA=DB，
∴AH=BH，∠1=∠HDB．
∵∠ACB=90°，
∴HC=HB．
∵EB=EC，HE=HE，
∴△HBE≌△HCE．
∴∠2=∠3，∠4=∠BEH．
∴HK⊥BC．
∴∠BKE=90°．
∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC，
∴∠HDB=∠BEH=∠ABC．
∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°，
∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°．
∴DB∥HE，DH∥BE．
∴四边形DHEB是平行四边形．
∴DF=EF．
证法二：分别过点D、E作DH⊥AB于H，EK⊥BC于K，连接HK，则
∠DHB=∠EKB=90度．
∵∠ACB=90°，
∴EK∥AC．
∵DA=DB，EB=EC，
∴AH=BH，∠1=∠HDB，
CK=BK，∠2=∠BEK．
∴HK∥AC．
∴点H、K、E在同一条直线上．
下同证法一．