Question

（2009•怀柔区二模）已知：如图所示，反比例函数y=与直线y=-x+2只有一个公共点P，则称P为切点．
（1）若反比例函数y=与直线y=kx+6只有一个公共点M，求当k＜0时两个函数的解析式和切点M的坐标；
（2）设（1）问结论中的直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．将∠ABO沿折痕AB翻折，设翻折后的OB边与x轴交于点C．
①直接写出点C的坐标；
②在经过A、B、C三点的抛物线的对称轴上是否存在一点P，使以P、O、M、C为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为两函数只有一个公共点，将关于两个函数解析式的方程组转化为一元二次方程，令△=0即可求出k的值．进而求出两函数的解析式及M点的坐标．
（2）①根据直线解析式，先求出A、B两点坐标，再根据翻折变换的性质，得∠OBA=∠ABC，根据三角形内角平分线的性质定理，求出AC的长，易得C点坐标．
②由于A、C在x轴上，且A、C关于抛物线对称轴对称，可求出抛物线对称轴方程，根据P点的移动情况，可见有三种情况：一、当MP∥OC时，可根据M点纵坐标得到P点纵坐标；二、MO∥CP时，可根据直线MO的系数求出直线CP的系数，再将C点坐标代入，即可求得PC解析式，将对称轴坐标代入解析式，即可求得P点坐标；三、可根据直线MC的系数求出直线CP的系数，由于OP过原点，即可求得OP解析式，将对称轴坐标代入解析式，即可求得P点坐标．
【解析】
（1）因为反比例函数y=与直线y=kx+6只有一个公共点，
将y=代入y=kx+6得
kx2+6x+k=0，
由△=36-4k2=0
得k=±3．
又∵k＜0，
∴k=-3．
∴两个函数的解析式分别为，和y=-3x+6．
∴点M的坐标为（1，3）．（2分）

（2）①如图，y=-3x+6与x轴、y轴两交点A、B的坐标分别为（2，0），（0，6）．
根据翻折不变性，∠OBA=∠ABC，
设AC=a，根据勾股定理，BC=，
根据三角形内角平分线性质定理，=，
解得a=或a=-2（负值舍去），
于是OC=2+
=，可求得点C的坐标为（，0）．（3分）
②存在点P满足四边形POMC为梯形．（4分）
又∵经过点A、B、C三点的抛物线的对称轴为．（5分）
一、当MP1∥OC时，P1点的纵坐标为M点的纵坐标3，则P1点的纵坐标为（，3），而此时OM与CP1不平行．
二、当MO∥CP2时，由于OM解析式为y=3x，设P2C解析式为y=3x+b，
将C（，0）代入解析式
可得b=-，
则P2C解析式为y=3x-，
当x=时，y=-，
则P2点的坐标为（，），
经判断，OP2与MC不平行．（6分）
三、当MC∥OP3时，由于CM解析式为y=-x+，则P3O解析式为y=-x，
当x=时，y=-，则P3点的坐标为（，），
经判断，MO与CP不平行．（7分）
∴满足条件的P点的坐标为（，3）、（，）和（，）．