Question

（2009•怀柔区一模）把直线y=-2x+2沿x轴翻折恰好与抛物线y=ax²+bx+2交于点C（1，0）和点A（8，m）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与y轴相交于点B，设点P是x轴上的任意一点（点P与点C不重合），若S_△ABC=S_△ACP，求满足条件的P点的坐标；
（3）设点P是x轴上的任意一点，试判断：PA+PB与AC+BC的大小关系，并说明理由．

Answer

（1）将直线y=-2x+2沿x轴翻折，那么新直线的斜率与原直线的斜率正好互为相反数，根据得出的直线的解析式可求得A点的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求得二次函数的解析式．
（2）先求出三角形ABC的面积，然后根据三角形ABC和三角形APC的面积相等，求出PC的长，即可求出P点的坐标．
（3）本题要分情况讨论：
①当P、C重合时，PA+PB=AC+BC；
②当P、C不重合时，可找出B点关于x轴的对称点（其实此点就是直线AC与y轴的交点）E，然后连接AE，此时发现AE正好过C点，因此AC+BC=AE，连接PB、PE，那么PA+PB=PA+PE，在三角形PAE中，根据三角形三边关系可得出PA+PE＞PE，因此PA+PB＞AC+BC．
综上所述即可得出所求的结论（主要根据轴对称和两点之间线段最短来求解）．
【解析】
（1）依题意，直线y=-2x+2沿x轴翻折所得到的解析式为y=2x-2
又∵直线y=2x-2过点A（8，m），
∴m=14．即点A（8，14），
又抛物线y=ax2+bx+2过点C（1，0）和点A（8，14），
a+b+2=0，64a+8b+2=14，
∴a=，b=，
∴抛物线的解析式为y=x2-x+2．

（2）如图1，设点P坐标为（x，0），
则S△ACP=•PC•12=|x-1|•14，
又∵S△ABC=S梯形ABOF-S△BOC-S△ACF
=（2+14）•8-•1•2-•7•14
=14．
∵S△ABC=S△ACP，
∴|x-1|•14=14
∴x1=3，x2=-1，
∴点P坐标为（3，0）或（-1，0）．

（3）如图2，结论：PA+PB≥AC+BC．
理由是：①当点P与点E重合时，有PA+PB=AC+BC．
②当点P异于点C时，
∵直线AC的解析式为y=2x-2，
∴直线AC与y轴相交于点E（0，-2）．
则点E（0，-2）与B（0，2）关于x轴对称，
∴BC=EC，连接PE，则PE=PB．
∴AC+BC=AC+EC=AE，
∵在△APE中，有PA+PE＞AE，
∴PA+PB=PA+PE＞AE=AC+BC．
综上所得AP+BP≥AC+BC．