Question

（2009•门头沟区二模）在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且BE=2AE，BD是∠EBC的平分线．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．
（1）当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE=PD+PQ；
（2）当点P在线段ED的延长线上时（如图2），请你猜想BE，PD，PQ三者之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；
（3）当点P运动到线段ED的中点时（如图3），连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交BD于点G．若BC=12，求线段PG的长．

Answer

（1）根据BE=2AE，BD是∠EBC的平分线可知∠ABE=30°，通过PQ∥BD，得到EQ=EP．过点E作EM⊥QP垂足为M构造直角三角形，利用三角函数或直角三角形的三边关系得到PE=PQ．那么BE=DE=PD+PE=PD+PQ；
（2）直接有（1）中的思路和图形上线段之间的关系可猜得BE=PQ-PD；
（3）先连接PC交BD于点N，构造直角三角形，利用三角函数求得∠DPC=60°，再证明△PNG∽△QPC，利用其比例线段可求得PG=．
证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形．
∴∠A=∠ABC=∠C=90°，AD∥BC．
∴∠EDB=∠DBC．
∵BE=2AE．
∴∠ABE=30°．
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60度．
∵BD是∠EBC的平分线．
∴∠EBD=∠DBC=∠EBC=∠EDB=30度．
∴EB=ED．
∵PQ∥BD．
∴∠EQP=∠EBD，∠EPQ=∠EDB．
∴∠EPQ=∠EQP=30°．
∴EQ=EP．
过点E作EM⊥QP垂足为M．
∴PQ=2PM．
∵PM=PE•cos∠EPM=PE•cos30°=PE．
∴．（1分）
∵BE=DE=PD+PE，∴．（2分）

（2）【解析】
当点P在线段ED的延长线上时，猜想：．（4分）

（3）【解析】
连接PC交BD于点N（如图3）
∵点P是线段ED的中点，BE=DE=2AE，BC=12．
∴EP=PD=4．
∵．
∴，．
∴．
∴∠DPC=60度．
∵PQ∥BD，
∴．
∵∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°，∠PND=∠PNG=90度．
∴，．（5分）
∵∠PGN=90°-∠FPC，∠PCF=90°-∠FPC．
∴∠PGN=∠PCF．
∵∠PND=∠QPG=90°．
∴△PNG∽△QPC．（6分）
∴．
∴．（7分）