Question

（2009•平谷区一模）如图，AB是⊙的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC，E是垂足．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果AB=5，tan∠B=，求CE的长．

Answer

（1）连接OD，只要证得∠EDO=90°即可得到DE是⊙O的切线．
（2）连接AD，先证明Rt△ADB∽Rt△DEC再根据相似比不难求得CE的长．
（1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．

（2）【解析】
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，tan∠B=，AB=5，
∴设AD=x，则BD=2x，由勾股定理，得x2+（2x）2=25，x=．
∴BD=CD=2．
∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC．
∴∠B=∠C．
∴Rt△ADB∽Rt△DEC．
∴．
∴CE=4．