Question

如图，AB是⊙O的直径，切线BC是⊙O相交于点D，BC=3，CD=2．
（1）求⊙O的半径；
（2）连接AD并延长，交BC于点E，取BE的中点F，连接DF，试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）在Rt△BCO中，利用勾股定理列出关于半径的等式即可求解；
（2）连接OF利用三角形全等得到∠ODF=∠OBC=90°，又因为OD是半径，所以相切．
【解析】
（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC（1分）；
设⊙O的半径为r，在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2，
∴（r+2）2=r2+32（2分），
∴r=，
∴⊙O的半径为（3分）；

（2）连接OF；
∵BO=OA，BF=FE，
∴OF∥AE（4分），
∴∠1=∠A，∠2=∠ADO；（5分）
又∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，（6分）
∴∠1=∠2；（7分）
∵OB=OD，∠1=∠2，OF=OF，
∴△OBF≌△ODF，（8分）
∴∠ODF=∠OBF=90°，即OD⊥DF；（9分）
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线，
即DF与⊙O相切；（10分）