Question

（2009•大连）如图1，在△ABC和△PQD中，AC=kBC，DP=kDQ，∠C=∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连接EQ交PC于点H．
猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想．说明：如果你经历反复探索，没有解决问题，可以从下面①、②中选取一个作为已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得6分．
①AC=BC，DP=DQ，∠C=∠PDQ（如图2）；
②在①的条件下且点P与点B重合（如图3

Answer

（1）取BC中点F，连接DE，DF．利用三角形中位线性质可知四边形DFCE是平行四边形，由已知中角的相等，利用等量相加和相等，可得∠PDF=∠QDE，DF∥AC，可得，即DF=kDE（DE=BF=BC），可证出△PDF∽△QDE．就有∠DFB=∠DEQ，又DE，BC平行可得∠DEQ=∠EHC，那么等量代换就有∠EHC=∠DFB=∠C，因此得证．
（2）和（1）的证法相同．
（3）连接AQ，利用已知条件可证出△DPQ∽△ACB，那么就有∠ABC=∠BAC，且∠DBQ=∠DQB，那么DB=DQ．能判定△ABQ是直角三角形，同样，△AQC也是直角三角形，HE是斜边上的高，所以就有EH=AC．
【解析】
结论：EH=AC．（1分）
证明：取BC边中点F，连接DE、DF．（2分）
∵D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点．
∴DE∥BC且DE=BC，
DF∥AC且DF=AC，（4分）
EC=AC∴四边形DFCE是平行四边形．
∴∠EDF=∠C．
∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ=∠EDF，∴∠PDF=∠QDE．（6分）
又∵AC=kBC，∴DF=kDE．
∵DP=kDQ，∴．（7分）
∴△PDF∽△QDE．（8分）
∴∠DEQ=∠DFP．（9分）
又∵DE∥BC，DF∥AC，∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．
∴∠C=∠EHC．（10分）
∴EH=EC．（11分）
∴EH=AC．（12分）

选图2．结论：EH=AC．（1分）
证明：取BC边中点F，连接DE、DF．（2分）
∵D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC且DE=BC，DF∥AC且DF=AC，（4分）
EC=AC，∴四边形DFCE是平行四边形．
∴∠EDF=∠C．
∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ=∠EDF，∴∠PDF=∠QDE．（6分）
又∵AC=BC，∴DE=DF，∵PD=QD，∴△PDF≌△QDE．（7分）
∴∠DEQ=∠DFP．
∵DE∥BC，DF∥AC，∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．
∴∠C=∠EHC （8分）
∴EH=EC．（9分）
∴EH=AC．（10分）

选图3．结论：EH=AC．（1分）
证明：连接AH．（2分）
∵D是AB中点，∴DA=DB．
∵AC=kBC，DP=kDQ，
∴=k，
又∵∠C=∠PDQ，
∴△ACB∽△PDQ，
∴∠ABC=∠PQD，
∴DB=DQ，
∴DQ=DP=AD，
∵∠DBQ+∠DQB+∠DQA+∠DAQ=180°，
∴∠AQB=90°，
∴AH⊥BC．（4分）
又∵E是AC中点，
∴HE=AC．（6分）