Question

（2009•聊城）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OC=EF；
（2）当点O位于AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形？并给出证明．

Answer

（1）由于CE平分∠ACB，MN∥BC，故∠BCE=∠OEC=∠OCE，OE=OC，同理可得OC=OF，故0C=EF；
（2）根据平行四边形的判定定理可知，当OA=OC时，四边形AECF是平行四边形．由于CE、CF分别是∠ECO与∠OCF的平分线，故∠ECF是直角，则四边形AECF是矩形．
证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠OCE，
∵MN∥BC，
∴∠BCE=∠OEC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OC=OE=OF，
故0C=EF；

（2）当点O位于AC边的中点时，四边形AECF是矩形．
由（1）知OE=OF，
又O为AC边的中点，
∴OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECO=∠ACB，∠OCF=ACD，
∴∠ECF=∠ECO+∠OCF=（∠ACB+∠ACD）=90°，
∴四边形AECF是矩形．