Question

（2009•聊城）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF=45度．连接BO并延长交AC于点G，AB=4，AG=2．
（1）求∠A的度数；
（2）求⊙O的半径．

Answer

（1）由于已知了∠DEF的度数，那么可连接OD，OF，那么∠DOF=2∠DEF=90°，根据AD，AF是圆的切线，那么OD⊥AB，OF⊥AC，由此可得出∠A的度数．
（2）根据（1）的结论我们不难得出ADOF是个正方形，那么OD=AD=AF=OF就都等于圆的半径长，那么可用半径表示出BD的长，根据OD∥AC，我们可以得出关于BD，AB，OD，AG的比例关系式．已知了AG，AB的长就能求出半径的长了．
【解析】
（1）连接OD，OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，又∠DOF=2∠DEF=2×45°=90°，
∴∠ODA=∠OFA=∠DOF=90°，
∴四边形ADOF是矩形，
∴∠A=90°；

（2）设⊙O的半径为r，
由（1）知四边形ADOF是矩形，又OD=OF，
∴四边形ADOF是正方形．
∴OD∥AC．
∴△BOD∽△BGA．
∴．
即，
解得r=．
∴⊙O的半径为．