Question

（2007•济宁）如图，A，B分别为x轴和y轴正半轴上的点，OA，OB的长分别是方程x²-14x+48=0的两根（OA＞OB），直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动．
（1）设△APB和△OPB的面积分别为S₁，S₂，求S₁：S₂的值；
（2）求直线BC的解析式；
（3）设PA-PO=m，P点的移动时间为t．
①当0＜t≤4时，试求出m的取值范围；
②当t＞4时，你认为m的取值范围如何？（只要求写出结论）

Answer

（1）先求出OA和OB的长度，P是角平分线上的点，P到OB，AB的距离相等，而两个三角形的高相等，S1：S2=AB：OB=5：3；
（2）过C点作CD⊥AB交AB于点D．得出OD=OC，BD=OB，再设OC=a，则OD=a，AC=8-a，利用勾股定理求出a以及点C的坐标．设BC的解析式y=kx+b，把已知坐标代入得出y=-2x+6；
（3）首先勾股定理求出BC．当t=4时，作P1Q⊥x轴于Q，利用线段比求得CQ=1，OQ=OA，P1O=PA．当0＜t≤4时，即P处于B，P1之间时，在BA上截取BE=BO，连接PE，则△OPB≌△EPB．然后求得PA-PO＜4．作PR⊥OA于R，则R处于线段OQ上，此时OR＜AR．利用勾股定理求出PA，PO的值，可得m＞0，综合所述可求出0≤m＜4②当t＞4时，m＜0．
【解析】
（1）x2-14x+48=0，
解得x1=6，x2=8，
则OA=8，OB=6 AB=10，
P是角平分线上的点，P到OB，AB的距离相等，
S1：S2=AB：OB=5：3；

（2）过C点作CD⊥AB交AB于点D．
∵BC平分∠ABO，
∴CD=OC，BD=OB=6，
设OC=a，则CD=a，AC=8-a，
∵AC2=CD2+AD2，
∴（8-a）2=a2+（10-6）2，
解得a=3，
∴C点坐标为（3，0），
∴设BC的解析式为y=kx+b，得，
∴k=-2，b=6，
∴BC的解析式为y=-2x+6；

（3）①∵，
∴，
当t=4时，设P点到达P1点的位置（如图2），作P1Q⊥x轴于Q，则，
∵P1C=P1B-BC=4×1-3=，
∴，
∴CQ=1，
∴OQ=4=OA，
∴P1O=PA，
∴当t=4时，PA-PO=0，即m=0．
当0＜t≤4时，即P处于B，P1之间时，
在BA上截取BE=BO，连接PE，则△OPB≌△EPB，
∴PE=PO．
在△PAE中，PA-PE＜AE，而AE=4，
∴PA-PO＜4，即m＜4．
作PR⊥OA于R，则R处于线段OQ上，此时OR＜AR，
∵，，
∴PA＞PO，
∴PA-PO＞0，即m＞0．
综上所述，当0＜t≤4时，0≤m＜4；
②当t＞4时，m＜0．