Question

有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点：
甲：对称轴是直线x=2；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式    ．

Answer

对称轴是直线x=2，则一次项系数与二次项系数的比是-4；与x轴两个交点的横坐标都是整数，根据二次函数与一元二次方程的关系，可知二次函数值y=0时，所对应的一元二次方程有两个整数解；三角形的面积=×底×高．据此作答．
【解析】
对称轴是直线x=2，则一次项系数与二次项系数的比是-4，
因而可设函数解析式是y=ax2-4ax+ac，
与y轴交点的纵坐标也是整数，因而ac是整数，
y=ax2-4ax+ac=a（x2-4x+c），与x轴两个交点的横坐标都是整数，
即方程x2-4x+c=0有两个整数解，设是-1和+5，则c=-5，
则y=ax2-4ax+ac=a（x2-4x-5），
∵以这三个交点为顶点的三角形的面积为3，
∴a=±．
则函数是：y=±（x+1）（x-5）．（答案不唯一）．