Question

（2009•山西）如图，已知直线l₁：y=x+与直线l₂：y=-2x+16相交于点C，l₁、l₂分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l₁、l₂上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
（3）若矩形DEFG沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

Answer

（1）把y=0代入l1解析式求出x的值便可求出点A的坐标．令x=0代入l2的解析式求出点B的坐标．然后可求出AB的长．
联立方程组可求出交点C的坐标，继而求出三角形ABC的面积．
（2）已知xD=xB=8易求D点坐标．又已知yE=yD=8可求出E点坐标．故可求出DE，EF的长．
（3）作CM⊥AB于M，证明Rt△RGB∽Rt△CMB利用线段比求出RG=2t．又知道S=S△ABC-S△BRG-S△AFH，根据三角形面积公式可求出S关于t的函数关系式．
【解析】
（1）由x+=0，得x=-4．
∴A点坐标为（-4，0），
由-2x+16=0，
得x=8．
∴B点坐标为（8，0），
∴AB=8-（-4）=12，
由，解得
∴C点的坐标为（5，6），
∴S△ABC=AB•yC=×12×6=36．

（2）∵点D在l1上且xD=xB=8，
∴yD=×8+=8，
∴D点坐标为（8，8），
又∵点E在l2上且yE=yD=8，
∴-2xE+16=8，
∴xE=4，
∴E点坐标为（4，8），
∴DE=8-4=4，EF=8．

（3）①当0≤t＜3时，如图1，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR（t=0时，为四边形CHFG）．
过C作CM⊥AB于M，则Rt△RGB∽Rt△CMB，
∴，即，∴RG=2t，
∵Rt△AFH∽Rt△AMC，
∴S=S△ABC-S△BRG-S△AFH=36-×t×2t-（8-t）×（8-t），
即S=-t2+t+．
②当3≤t＜8时，如图2所示，矩形DEFG与△ABC重叠部分为梯形HFGR，由①知，HF=（8-t），
∵Rt△AGR∽Rt△AMC，
∴=，即=，∴RG=（12-t），
∴S=（HF+RG）×FG=[（8-t）+（12-t）]×4，
即S=-t+；
③当8≤t≤12时，如图3所示，矩形DEFG与△ABC重叠部分为△AGR，
由②知，AG=12-t，RG=（12-t），
∴S=AG•RG=（12-t）×（12-t）即S=（12-t）2，
∴S=t2-8t+48．