Question

阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于-1，记为i²=-1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3-4i）=5-3i．
（1）填空：i³=______，i⁴=______．
（2）计算：①（2+i）（2-i）；②（2+i）²；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+y）+3i=（1-x）-yi，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．

Answer

（1）根据i2=-1，则i3=i2•i，i4=i2•i2，然后计算；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现i2，化简为-1计算；
（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得x，y的值；
（4）分子分母同乘以（1+i）后，把分母化为不含i的数后计算．
【解析】
（1）∵i2=-1，
∴i3=i2•i=-1•i=-i，
i4=i2•i2=-1•（-1）=1，

（2）①（2+i）（2-i）=-i2+4=1+4=5；
②（2+i）2=i2+4i+4=-1+4i+4=3+4i；

（3）∵（x+y）+3i=（1-x）-yi，
∴x+y=1-x，3=-y，
∴x=2，y=-3；

（4）=．