Question

（2007•娄底）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

Answer

（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；
（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证▱AEDF实菱形．
证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，
同理∠DAE=∠FDA，
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF，
∴AE=DF；

（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠DAF=∠FDA．
∴AF=DF．
∴平行四边形AEDF为菱形．