Question

（2009•宝山区二模）在直角坐标系中，把点A（-1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到A′，经过点A、A′的抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点的纵坐标为2．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为点P，点B的坐标为（1，m），且m＜3，若△ABP是等腰三角形，求点B的坐标．

Answer

（1）把点A，A′和（0，2）代入解析式用待定系数法求解；
（2）根据题意可设点B的坐标为（1，m），利用等腰三角形的两边相等作为等量关系列式子关于m的方程，要注意本题有三种情况，要分别列举，当AP=PB时；当AP=AB时；当PB=AB时，分别计算不要漏解．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
点A（-1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到点A'（3，a），（1分）
∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为2，
∴c=2，（1分）
∵图象经过点A（-1，a），A'（3，a），
∴，（1分）
解得，（2分）
∴这条抛物线的解析式为y=-x2+2x+2；（1分）

（2）由y=-x2+2x+2=-（x-1）2+3
得P（1，3），，（1分）
∵△ABP是等腰三角形，点B的坐标为（1，m），且m＜3，
（Ⅰ）当AP=PB时，，
即，（1分）
∴；（1分）
（Ⅱ）当AP=AB时，（-1-1）2+（-1-3）2=（-1-1）2+（-1-m）2，
解得m=3，m=-5，（1分）m=3不合题意舍去，
∴m=-5；（1分）
（Ⅲ）当PB=AB时，（1-1）2+（3-m）2=（-1-1）2+（-1-m）2，
解得．（1分）
∴当或-5或时，△ABP是等腰三角形．B的坐标是（1，3-2）或（1，-5）或（1，）．