Question

（2009•宝山区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=CD=5，．点P在边BC上运动（点P不与点B、点C重合），一束光线从点A出发，沿AP的方向射出，经BC反射后，反射光线PE交射线CD于点E．

（1）当PE=CE时，求BP的长度；
（2）当点E落在线段CD上时，设BP=x，DE=y，试求y与x之间的函数关系，并写出其定义域；
（3）连接PD，若以点A、P、D为顶点的三角形与△PCE相似，试求BP的长度．

Answer

（1）先根据已知证明∠APB=∠C，再根据三角函数的知识得出PE=CE时，BP的长度；
（2）延长PE与AD的延长线交于点F，根据平行线的性质即可得出与x之间的函数关系；
（3）若△APD与△PCE相似，则有两种情况：（ⅰ）∠ADP=∠C时，△APD∽△PEC，根据相似三角形的性质得出BP的长度；（ⅱ）∠APD=∠C时，△APD∽△DCP，根据相似三角形的性质得出BP的长度．
【解析】
（1）根据已知，得BC=8，∠APB=∠EPC（1分）
∵PE=CE∴∠EPC=∠C
∴∠APB=∠C
（方法一）∵cot∠C=∴（1分）
∵AB=4∴BP=3（1分）
即BP=3时，PE=CE
（方法二）∴AP∥DC
∴PC=AD=5（1分）
∴BP=3（1分）
即BP=3时，PE=CE

（2）延长PE与AD的延长线交于点F，
∵BP=x，
∴PC=8-x，AF=2x（1分）
∵DE=y，DC=AD=5，
∴EC=5-y，DF=2x-5
∵AF∥BC
∴（1分）
即（1分）
∴（1分）
∵点E在线段CD上
∴函数定义域为＜8（1分）

（3）∵AD∥BC∴∠DAP=∠APB，
∵∠APB=∠EPC∴∠DAP=∠EPC（1分）
若△APD与△PCE相似，则有如下两种情况：
（ⅰ）∠ADP=∠C时，
推出BP=2时，△APD∽△PEC；（2分）
（ⅱ）∠APD=∠C时
（法一）又∵∠ADP=∠DPC∴△APD∽△DCP
∴PD2=AD•PC
∵PD2=42+（5-x）2（1分）
∴16+（5-x）2=5（8-x）（1分）
解得，经检验，均符合题意
故时，△APD∽△PCE；（1分）
∴当BP为2，时，△APD与△PCE相似．
（法二）过点D作DH⊥AP于点H
∵∠DAP=∠APB∴
∵
∴
∴（1分）
∵cot∠C=∴（1分）
解得x=，或x=（舍去），
故x=时，△APD∽△PCE；（1分）
∴当BP为2，时，△APD与△PCE相似．