Question

（2009•长宁区二模）如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．
（1）求证：OC=OF；
（2）求证：AB=DE．

Answer

（1）、由同角的余角相等可得，∠DFO=∠OCA，由AAS证得△ACO≌△DFO，故有OF=OC；
（2）、证得∠DOE=∠AOB，再由SAS得到△OAB≌△ODE⇒AB=DE．
证明：（1）∵∠D+∠DCA=∠D+∠DFO=90°，
∴∠DFO=∠OAC．
又∵OD=OA，∠DOF=∠AOC=90°，
∴△ACO≌△DFO．
∴OF=OC．

（2）连接OB、OE，
∵OE=OD，OA=OB，
∴∠D=∠E，∠A=∠B．
∴∠DOE=180°-2∠D，∠AOB=180°-2∠A．
由1知，△ACO≌△DFO，有∠A=∠D．
∴∠DOE=∠AOB．
又∵OE=OD=OA=OB，
∴△OAB≌△ODE．
∴AB=DE．