Question

（2009•长宁区二模）如图1，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，连接CI．
（1）△ABC变化时，设∠BAC=2α．若用α表示∠BIC和∠E，那么∠BIC=______，∠E=______；
（2）若AB=1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长；
（3）如图2，延长AI交EC延长线于F．当△ABC形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与△ABI相似？写出这些三角形，并选其中之一证明．

Answer

（1）根据三角形内角与外角的关系可以用α表示∠BIC和∠E；
（2）△ABC与△ICE相似，根据题意知∠ICE=90°，可分三种情况讨论并求出相应AC长；
（3）共三对△EIF、△ECB、△ACF．以△EIF∽△ABI为例说明：由于∠ACD是△ABC的外角，可得出∠ACD=∠BAC+∠ABC；由于CE、IA、IB分别为∠ACD、∠BAC、∠ABC的角平分线，不难得出∠ECD=∠BCF=∠BIF=∠BAI+∠ABI，由此可得出∠BCE=∠EIF，即可证得△EIF∽△ECB；即∠EBC=∠F=∠ABI，再加上两三角形中一组对顶角，即可证得所求的两三角形相似．
【解析】
（1）90°+α，α．

（2））△ABC与△ICE相似，根据题意知∠ICE=90°，所以本题分三种情况：
①若∠BAC=90°，如图1，易证∠EIC=45°，则△ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB=1．
②∠ABC=90°，如图2，推出∠E=∠BAC，∴△ABC∽△ICE，∴∠ACB=∠E=∠BAC，∴∠BAC=60°，∠ACB=30°，AC=2AB=2．
③∠ACB=90°，如图3，同2，推出Rt△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=30°，AC=AB=．

（3）写出：△EIF，△ECB，△ACF．
证明其中一个三角形与△AIB相似．如：△EIF∽△AIB．
证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACE=∠BCF=∠ACD．
同理可得出∠BAI=∠IAC=∠BAC，∠ABE=∠IBC=∠ABC．
∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴∠BCF=∠ECD=∠BAI+∠ABI=∠BIF，
∴∠ECB=∠EIF；
∵∠BEC=∠IEF，
∴△IEF∽△BCE；
∴∠EBC=∠F=∠ABI．
又∵∠BAI=∠IEF，
∴△BIA∽△FIE．