Question

（2009•奉贤区一模）已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过x轴上点A（1，0）和点B（3，0），且与y轴相交于点C．
（1）求此二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）求∠CPB的正弦值．

Answer

（1）将点A（1，0）和点B（3，0）的坐标分别代入y=x2+bx+c，用待定系数法即可求得二次函数的解析式；再利用顶点公式求出其顶点坐标．
（2）首先根据二次函数的解析式求出点C的坐标，再分别计算PB、BC、PC的长度，然后由勾股定理的逆定理，知△PBC是直角三角形，最后根据正弦三角函数的定义求出∠CPB的正弦值．
【解析】
（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过x轴上点A（1，0）和点B（3，0），
∴，
解得，
∴此二次函数的解析式为y=x2-4x+3．
∵-=2，=-1，
∴顶点P的坐标为（2，-1）．

（2）∵y=x2-4x+3，
∴当x=0时，y=3．
∴点C的坐标为（0，3）．
又∵点P的坐标为（2，-1），点B的坐标为（3，0），
∴PB==，
BC==3，
PC==2，
∴PB2+BC2=PC2，
∴∠PBC=90°，
∴sin∠CPB=．