Question

（2009•奉贤区一模）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D在BC边上移动，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折，此时点C的对应点为C₁，AC₁交边BC于点E．
（1）当点D移动到AC₁与BC垂直时，此时CD的长为多少？
（2）设CD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（3）在点D的移动过程中，是否可以使得△EC₁D成为等腰三角形？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）当AC1与BC垂直时，点E是BC的中点，有CE=BC=4，由勾股定理可求得AE=3，由于C1D=CD，A1C=AC，在Rt△C1DE中，由勾股定理可求得ED的值，再求得CD的值；
（2）易证△ABE∽△D1CE，得到AB：C1D=AE：ED=BE：EC1，先求得ED，再得到BE与CD的关系式；
（3）分两种情况：当C1E=ED时和当C1E=C1D时，可由（2）中的关系式求得．
【解析】
（1）∵AC1与BC垂直，AB=AC=5，BC=8
∴CE=BC=4
在Rt△AEC中，AE==3
∵C1D=CD，AC1=AC=5，EC1=AC1-AE，ED=EC-CD
∴在Rt△EDC1中，有ED2+EC12=C1D2，即CD2=（5-3）2+（4-CD）2，
解得：CD=；

（2）
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠C1=∠C
∴∠C1=∠B
又∵∠AEB∠DEC1
∴△AEB∽△DEC1
∴AB：DC1=AE：DE=BE：C1E
∴5：C1D=AE：（8-BE-CD）=BE：（5-AE）
∵BE=y，CD=C1D=x
∴5：x=AE：（8-y-x）=y：（5-AE）
解得AE=，y=（0＜x＜4）；

（3）存在．
当C1E=ED时，由于△AEB∽△DEC1，则有y=BE=AE=
∴y=
∴=
∴x=3；
当C1E=C1D时，由于△AEB∽△DEC1，则有y==BE=AB=5，
解得x=5-．