Question

（2010•温州模拟）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A（0，3）和点B（3，0），其顶点记为点C．
（1）确定此二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）将直线CB向上平移3个单位长度，求平移后直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，能否在直线上l找一点D，使得以点C、B、D、O为顶点的四边形是等腰梯形．若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）分别把点A（0，3）和点B（3，0），代入二次函数y=x2+bx+c中得b=-4，c=3，求得二次函数的解析式；
（2）利于平移的性质，上加下减可知直线CB向上平移3个单位长度，求得平移后直线l的解析式；
（3）若四边形CBDO为等腰梯形，则只能BD=CO，且BC≠DO．设D（x，x），则利于两点间的距离公式可得D（1，1）或D（2，2），根据实际意义舍去D（1，1）；若四边形CBOD为等腰梯形，则只能BO=CD，且BC≠DO，同理可得：D（-1，-1）或D（2，2），根据实际意义舍去D（-1，-1）；从而求得点D的坐标．
【解析】
（1）把A（0，3）和B（3，0），代入y=x2+bx+c，
得：，
解得：，
所以，所求二次函数的解析式为：y=x2-4x+3
所以，顶点C的坐标为（2，-1）

（2）由待定系数法可求得直线BC的解析式为：y=x-3，
所以，直线l的解析式为：y=x

（3）能．
由直线l∥BC，即OD∥BC，可知：
若四边形CBDO为等腰梯形，则只能BD=CO，且BC≠DO
∵点D为直线l：y=x上的一点
∴设D（x，x），则可得：①
解得：x1=1，x2=2经检验，x1=1，x2=2都是方程①的根
∴D（1，1）或D（2，2）
但当取D（1，1）时，四边形CBDO为平行四边形，不合题意，舍去
若四边形CBOD为等腰梯形，则只能BO=CD，且BC≠DO
同理可得：D（-1，-1）或D（2，2）
但当取D（-1，-1）时，四边形CBOD为平行四边形，不合题意，舍去
故所求的点D的坐标为（2，2）．