Question

（2009•黄浦区一模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQ⊥AP交CD于点Q．（图1）
（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；
（2）当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）
（3）设BP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

Answer

（1）过B作BH⊥CD于H，在Rt△BHC中，根据BH（即AD）的长及∠C的正切值，可求得CH的长，进而可根据勾股定理求得BC的长；得到CH的长，由CD=DH+CH=AB+CH即可得到CD的长，根据梯形的面积公式可求出梯形ABCD的面积；
（2）当PQ=DQ时，连接AQ，易证得△ADQ≌△APQ，则AD=AP=4；过P作PE⊥AB于E，不难得出∠C=∠PBE；可根据∠PBE的正切值，用未知数表示出BE、PE的长，进而在Rt△APE中，由勾股定理求得未知数的值，进而可在Rt△BPE中求出BP的长；
（3）过P作PF⊥D于F，由于∠APQ=90°，易证得△AEP∽△PFQ，根据得到的比例线段即可用x表示出QF的长，进而可在Rt△PFC中，根据∠C的正切值用x表示出CF的长；由CQ=QF+CF即可得到y、x的函数关系式．
【解析】
（1）作BH⊥CD，垂足为H，（1分）
则四边形ABHD为矩形；
∴BH=DA=4，DH=AB=2；（1分）
在Rt△BCH中，，
∴，（1分）；（1分）
又CD=CH+DH=5，
∴S梯形ABCD=；（1+1=2分）

（2）连接AQ，
由DQ=PQ，可知△ADQ≌△APQ，AP=AD=4；（1分）
作PE⊥AB交AB的延长线于点E，（1分）
在Rt△BPE中，，
令BE=3k，PE=4k．
则在Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，（1分）
即42=（2+3k）2+（4k）2，解得：；（1分）
∴；（1分）

（3）作PF⊥CD交CD于点F，
由∠AEF=∠EFD=∠APQ=90°，
可得：△AEP∽△PFQ；
∴，即，
化简得：；（1分）
又，
∴；（1分）
定义域为（0＜x＜5）．（1分）