Question

（2009•嘉定区一模）（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．
①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；

②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．

Answer

（1）①求线段CQ的长，根据已知条件AB=AC，∠APQ=∠ABC知道，可以先证明△QCP∽△PBA，由比例关系式得出；
②要求y与x之间的函数关系式，函数的定义域，因为BP在线段CB上，或在CB的延长线上，根据实际情况证明△QCP∽△ABP，求出比例关系式得出
（2）要求线段BP的长，先证明△BAP∽△CPQ得出比例式，再利用图形间的“和差“关系求解．
【解析】
（1）①∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，
∴∠BAP=∠CQP．（1分）
又∵AB=AC，∴∠B=∠C．（1分）
∴△CPQ∽△BAP．（1分）
∴．（1分）
∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8-6=2，（1分）
∴，．（1分）

②若点P在线段CB上，由（1）知，
∵BP=x，BC=8，∴CP=BC-BP=8-x，
又∵CQ=y，AB=5，∴，即．
故所求的函数关系式为，（0＜x＜8）．（2分）
若点P在线段CB的延长线上，如图．
∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，
∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，
∴∠CPQ=∠PAB．
又∵∠ABP=180°-∠ABC，∠PCQ=180°-∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴．（1分）
∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，
∴，即（x≥8）．（1分）

（2）①当点P在线段BC上，
∵∠APQ=90°，
∴∠APB+∠QPC=90°，
∵∠PAB+∠APB=90°，
∴∠PAB=∠QPC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC=BP：CQ，
即5：（5-BP）=BP：1，
解得：，或，（2分）
②当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，
同理可得：△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC=BP：CQ，
∴5：（BP-5）=BP：1，
解得：，（1分）
③当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，
同理可得：△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC=BP：CQ，
∴5：（BP+5）=BP：1，
解得：．（1分）