Question

（2009•静安区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，AC平分∠DAB，点E为AC的中点．求证：DE=．

Answer

根据已知及相似三角形的判定可得到△AED∽△ACB，再根据相似三角形的边对应成比例即可得到结论．
证明：证法一：∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC．（1分）
∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC．（1+2分）
∵点E是AC的中点，∴DE⊥AC，（2分）
∵AC⊥BC，
∴∠AED=∠ACB=90°．（1分）
∴△AED∽△ACB．
∴．
∴DE=BC．（2+2+1分）
证法二：
延长DE交AB于点F，（1分）
∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，（1分）
∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC．（1+2分）
∵点E是AC的中点，∴DE⊥AC，（2分）
∵AC⊥BC，∴∠CED=∠ACB=90°，
∴EF∥BC．（1分）
∴点F是AB的中点．
∴EF=BC．（1+1分）
∵，
∴DE=EF=BC．（1+1分）