Question

（2008•衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2），C（0，2），点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′），折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S．
（1）求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
（3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）求∠OAB的度数，我们可根据A、B的坐标来求，根据tan∠OAB=B的纵坐标的绝对值：A、B横坐标的差的绝对值，可得出∠OAB的度数．得出的∠BAO是60°后，以及折叠得到的AT=A′T，那么三角形A′AT是等边三角形，且三边长均为10-t．求面积就要有底边和高，我们可以AA′为底边，那么PT就是高，AA′=10-t，那么关键是PT的值，已知了∠BAT的度数，我们可以用AT的长以及∠BAT的正弦函数表示出PT的长，由此可根据三角形的面积公式得出关于S，t的函数关系式．此时AT即AA′的最大值为AB的长，也就是4，因此AT的取值范围是0＜AT≤4，那么t的取值范围就是6≤t＜10；
（2）当重叠部分是四边形时，那么此时A′应该在AB的延长线上，那么此时AA′的最小值应该是AB的长即4，最大的值应该是当P与B重合时AA′的值即8，由于三角形ATA′是个等边三角形，那么AT的取值范围就是4＜AT＜8，那么t的取值就应是2＜t＜6；
（3）可分成三种情况进行讨论：
①当A′在AB上时，即当6≤t＜10时，可根据（1）的函数来求出此时S的最大值；
②当A′在AB延长线上但P在AB上时，即当2≤t＜6时，此时重合部分的面积=三角形AA′T的面积-上面的小三角形的面积，根据AT和AB的长，我们可得出A′B的长，然后按（1）的方法即可得出上面的小三角形的面积，也就可以求出重合部分的面积；
③当A′在AB延长线上且P也在AB延长线上时，即当0＜t≤2时，重合部分的面积就是三角形EFT的面积（其中E是TA′与CB的交点，F是TA与CB的交点）那么关键是求出BF，BE的值，知道了AT的长，也就知道了AP，A′P的长，根据AB=4我们不难得出BP的长，有了BP的长就可以求出A′B，BE的长，在直角三角形BPE中，可根据∠PBF的度数，和BP的长，来表示出BF的长，这样我们就能表示出EF的长了，又知道EF边上的高是OC的长，因此可根据三角形的面积来求出S的值．
然后综合三种情况判断出是否有S的最大值．
【解析】
（1）∵A，B两点的坐标分别是A（10，0）和B（8，2），
∴tan∠OAB==，
∴∠OAB=60°，
当点A′在线段AB上时，
∵∠OAB=60°，TA=TA′，
∴△A′TA是等边三角形，且TP⊥AA′，
∴TP=（10-t）sin60°=（10-t），A′P=AP=AT=（10-t），
∴S=S△ATP=A′P•TP=（10-t）2，
当A´与B重合时，AT=AB==4，
所以此时6≤t＜10；

（2）当点A′在线段AB的延长线上，且点P在线段AB（不与B重合）上时，
纸片重叠部分的图形是四边形（如图①，其中E是TA′与CB的交点），
假设点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是（2，0），由（1）中求得当A´与B重合时，T的坐标是（6，0），
则当纸片重叠部分的图形是四边形时，2＜t＜6；

（3）S存在最大值．
①当6≤t＜10时，S=（10-t）2，
在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，
∴当t=6时，S的值最大是2；
②当2≤t＜6时，由图①，重叠部分的面积S=S△A′TP-（S△A′EB-S△PFB），
∵△A′EB的高是A′B•sin60°，
∴S=（10-t）2-（10-t-4）2×+（-4）2×=（-t2+2t+30）=-（t-2）2+4，
当t=2时，S的值最大是4；
③当0＜t≤2，即当点A′和点P都在线段AB的延长线上是（如图②，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点），
∵∠EFT=∠FTP=∠ETF，四边形ETAB是等腰梯形，
∴EF=ET=AB=4，
∴S=EF•OC=×4×2=4．
综上所述，S的最大值是4，此时t的值是t=2．